La divergencia

Vds perdonen pero o lo escribo o exploto.

El caso es que a mi me hicieron aprender que la divergencia de un vector, en un campo vectorial, es el producto (escalar) del operador nabla de Hamilton por dicho vector, y tras meterme eso en el coco sacaban, en la pizarra de la Universidad las conclusiones mas peregrinas que pueda Vd imaginar sin mas que usar las reglas del álgebra vectorial.

Todo el juego matemático dejaba muy satisfecho en general a profesores y alumnos, pero no a todos, pues algunos opinábamos que el armazón de la integrales y demás artificios del cálculo infinitesimal tiene su indudable e inestimable valor, pero que el foco debe apuntar hacia el sentido físico y no fijarse tanto en la herramienta matemática. Es lo que Morillo, Cátedro de Electrotecnia, llamaba "la prosa de la asignatura", con la que es necesario conectar aunque solo sea para no olvidar que las ecuaciones, a menudo, suponen cosas tan peregrinas como que la resistencia de los contactos de las escobillas con el colector es óhmica y que la variable que la modela es continua en el intervalo a pesar de que, a veces, yo veo que esas máquinas echan por el colector mas chispas que la madre que las parió.

Volviendo a la divergencia, como la definición que comentamos es algo abtrusa pues se me había olvidado hasta que nabla se usa normalmente como operador cartesiano con sus derivadas parciales referidas a las variables x, y, z... etc... y creo que en general no le he visto en la divergencia, así considerada, ningún sentido común conectado con la realidad física.

De todos modos la definición anterior debe ser buena, pues es la que aparece en textos tan ilustres nada mas y nada menos como los del profesor Puig Adam o del famoso Rey Pastor. Pero al igual que con la Reluctancia, de la que hablamos hace unos días, tambien en este caso hurgando por ahí he visto la luz. Veamos:

Sea un campo vectorial que quiero conocer en sus puntos, saber cómo es a lo largo y a lo ancho del espacio en el que está definido. Esto es, quiero ver cómo las flechas del campo eléctrico salen (según dicen) de las cargas positivas y se clavan en las negativas o cómo una masa extiende su campo de fuerza gravitatoria por todo el espacio o como las líneas de campo magnético se cierran todas ellas y cada una sobre si misma abarcando por completo el antes mencionado espacio sideral.

Pues bien, si consideramos un volumen V en ese espacio vectorial, cerrado por una superficie S y calculamos el flujo fi (y dale con fi) del campo A a través de la superficie S, puede suceder que el flujo sea cero o que no lo sea. Si es cero decimos que el campo de vectores A no tiene, en el volumen V, ni fuentes ni sumideros . Si el flujo es positivo decimos que tiene fuentes y si negativo que sumideros.

Claro que esto es para trozos de espacio de volumen V gordotes, pero si queremos saber que pasa en cada punto puntual del espacio nos basta con hacer V pequeñito, pequeñito, vamos que tiende a cero, y en el límite, al cociente entre flujo que atraviesa la superficie que encierra al volumen, dividido por dicho volumen le llamamos divergencia del vector en el punto, y ya hemos visto que puede ser cero, positiva y negativa.

div A = lim fi( A ) / V para V --> 0

Recuerde que fi ( A ) = integral sup A * ds para la superficie considerada.

Si consideramos que V tiende a cero, y que es pequeñito, pequeñito, vamos a llamarlo dv, y vamos a reescribir la ecuación primera, teniendo en cuenta la segunda, como sigue:

div A * dv = integral sup A*ds para la superficie que encierra a dv

Y si consideramos todo un volumen V mas gordo, encerrado en la superficie S nos resulta

integral vol div A * dv = integral sup A * ds

Ostras! Si nos ha salido el Teorema de Gauss! (Tambien llamado de la divergencia o de Ostrogradsky) .

Cáscaras! Si ya he cumplido mi promesa en un ladrido anterior de hablar sobre ello! .... Pues sabe lo que le digo.... Que no es para tanto.

Y vamos a terminar con un par de chorradas:

Ah!, ah!, y otra vez ah! Entonces Mr Maxwell cuando dice en una de sus ecuaciones que divB=0 no dice nada mas que el campo magnético no tiene ni fuentes ni sumideros?. Pues a mi humilde entender no dice nada mas y nada menos.

Ah!, ah, y otra vez ah! (Y perdón por quedarme con la boca abierta) Entonces cuando Maxwell dice que divD=ro nos está diciendo simplemente que el campo eléctrico surge en las cargas positivas y se larga raudo y veloz subido en flechitas hasta sumideros de carga negativa donde ro<0? Pues pizca mas cacho menos eso es lo que dice. Apurando un poco podemos llegar a la ley de Coulomb pero eso es ya para nota...

Y para eso tanto misterio? Pues qué quiere Vd que le diga... y volviendo al principio de este ladrido Vds perdonen por escribirlo.

El perro se pone al sol

Hoy el perro está feliz porque se ha puesto a tomar el sol, y mirando al Astro Rey se ha puesto a recordar algo de lo que le enseñaron en las diversas escuelas primarias, secundarias y por correspondencia a las que amablemente primero sus padres y luego sus hijos le han matriculado, y ha recordado lo siguiente:

Que una clase consiste generalmente en que los conocimientos pasen de la libreta del profesor a la libreta del alumno sin pasar por la cabeza de ninguno de ellos. (¿Me explico?, ... ¿Me entendés?)

Pues bien, si recordamos que vivimos en un sistema heliocéntrico dando vueltas La Tierra sobre si misma y ella a su vez alrededor del Sol (mismamente como si vivieramos en un trompo o gran peonza) podemos hacer muchas cosas. Entre ellas vamos a tratar de orientar nuestro entendimiento a discurrir simplemente de como cuanto calienta el Sol aquí en la Tierra. Para ello podemos bien aplicar el Teorema de Gauss Ostrogradsky a la energía irradiada por dicho Astro Rey y calcular el flujo (y dale con el flujo fi) en una esfera hipotética centrada en el Sol y radio una UA (Unidad Astronómica), o bien medirla en el exterior de la atmósfera terrestre con algun sensor (debidamente calibrado) instalado en uno o varios satélites artificiales o similares. Hecho lo anterior, este perro ha encontrado que la energía que llega al exterior de la atmosfera a 1m2 de cuerpo negro normal a la direccion del Sol, es la llamada Constante Solar = 1360 W. (vatio mas, vatio menos).

Si repetimos las medidas a lo largo y a lo ancho de la superficie de nuestro planeta, y asumiendo que los rayos solares tienen que atravesar la atmósfera, esto es que no existen agujeros atmosféricos o túneles virtuales o no virtuales o guías o tubos de rayos solares que eviten el trabajoso viaje del sol a través de la atmósfera, resulta que dicha atmósfera, aún en las mejores condiciones posibles, esto es al mediodía solar, sin nubes, en condiciones de claridad extrema, de pureza virginal, etc.. etc resulta que con sus estrepitosos átomos de vapor de agua, de CO2, de O2, de indicios de esperma de ballena y de vaya Vd a saber que mas lindezas e impurezas hacen que parte de las ondas electromagnéticas de frecuencia extrema que se asocian con los fotones luminiscentes de la luz solar, y en definitiva con la energía que incidía rabiosamente a razón de 1366 w/m2 en el extremo superior lindante con el espacio exterior, se quede o bien en el camino o se refleje y se largue proyectando al "outer space" una maravillosa imagen de nuestro planeta azul, que si no fuese así mas parecería un agujerito negro de habas. En definitiva, abajo en la superficie de la tierra, en la playa al mediodía solar, en una tumbona (normal a la dirección solar) la constante es ...... tatachin! tatachan! 1024 W/m2.

Ya sabemos que al mediodía solar un panel de rica miel de 1 m2 normal a la dirección solar recibe 1 Kw, pero.... ¿ y antes? ... ¿y después? Pues bien, medidas conciezudas de expertos energéticos han sacado curvas que este perro ha visto y ha sacado las siguientes conclusiones empíricas: En el entorno del mediodía solar +- 1 h la radiación se mantiene muy cerca de su máximo en el valor de la constante solar de superficie terrestre de 1Kw/m2 , luego, y antes, baja lentamente hasta una 800 W/m2 en un incremento (decremento) durante 4 horas. En la hora siguiente, cae rápidamente a 600 W/m2, y en la siguiente, que corresponde con la primera del orto y última previa al ocaso hay una caída en picado hasta cero w/m2.

Resumen práctico de El Perro Feliz: Si el perro quiere saber cuantos vatios-hora caen en un m2 normal al sol (en un sistema solar que siga al Sol) lo que hace es multiplicar las horas de sol del lugar por la integral de la curva antes descrita y que este perro estima en digamos 800 W/m2. (toma ya!)

Oiga, so perro, es que yo tengo una central de concentración de 90 Kw de pico en Huesca y quiero saber cuantos Kw-h me puede dar al año y no se calcularlo.....

Pues acuda a la escuela o discurra un poco. Se ha sabido de coroneles que razonan.... pero voy a intentar ayudarle. En Huesca es posible que tenga Vd 2500 horas de sol, pero... ¿cuantos m2 de sol cosecha Vd?. Si me dice que en el pico recoge Vd 90.000 W de electricidad producida y yo asumo que Vd tiene una eficiencia del 30 % en su instalacion deduzco que Vd está cosechando 300.000 W de sol para obtener los 90 Kw de grano, lo que supone en el pico a 1000 W / m2 tiene 300 m2 "equivalentes". Con 300 m2 a 800 w/m2 de media por hora de sol y a 2500 horas de sol estimo que Vd puede ordeñar 600 Mw-h y obtener con su rendimiento del 30% 180 MW-h al año.

Se admiten críticas feroces, a ser posible razonadas, ademas de insultos sin razonar.

Gracias

Mas retorcido que un solenoide.

Desde que aprobé la asignatura de electrotecnia se me había metido en la cabeza que el flujo mágnetico es la fuerza magnetomotriz partido por la reluctancia, pero hoy al leer en la Wikipedia me acabo de caer del Cherry Tree (caerme del guindo) y descubro para ser un poco menos inculto que no es exactamente así, pues Oliver Heaviside definió la reluctancia R de un material como su resistencia a verse influenciado por un campo magnético y la definió en 1888 como la relación entre la fuerza magnetomotriz en amperios vuelta N * I que produce el antes dicho flujo: R = N * I / fi . (Y tambien fi = N * I / R)

Vd me dirá que es lo mismo pero yo opino que el matiz de asociar el conocimiento de esta especie de ley de Ohm del magnetismo a su origen histórico y al material del núcleo me hace entender mejor la reluctancia, que normalmente se mide en amperios-vuelta/weber (toma ya!).

Por otra parte, si tiene Vd en cuenta que la inductancia L es la relacion entre el flujo y la intensidad que lo produce podemos imaginar un solenoide o bobina de N vueltas y cada vuelta recorrida por la corriente I que produce en cada espira un flujo fi, por lo que resulta que L = N * fi / I .

Pero como fi = N * I / R resulta que L = N * N / R ó bien L = N*N*A

La inversa de la Reluctancia es A, llamada inductancia específica, y es el valor que actualmente suelen dar los fabricantes de núcleos para que Vd calcule sus bobinas, pero si no se lo dan puede Vd construirese una bobinita de prueba de digamos 100 vueltas, y medir su inductancia y con la fórmula mágica anterior oobtener el valor de la inductancia específica del núcleo y usarlo para saber cuantas vueltas necesita para su próximo solenoide.

Esto hizo este perro feliz, su seguro servidor, y obtuvo 3 milihenrios con 100 vueltas sobre el carrete RM lo que indica un núcleo de 300 nH/vuelta al cuadrado (toma ya!).

Se agradece su colaboración al Sabio Ingeniero JLP por refrescarme la memoria histórica. A cambio le recuerdo que:

div D = ro

div B = 0

rot H = j + dD/dt

rot E = - dB/dt

Dejo para otro ladrido los teoremas de la divergencia y del rotacional y la anécdota de como me enviaron a chupar rotacionales cuando, como ahora, no tenía ni idea de que era eso del rotacional.