Lord Kelvin

Confieso mi ignorancia supina. Yo estaba convencido de que Lord Kelvin era sólo un famoso constructor de puentes, pero me acabo de enterar que su nombre de pila es Willam Thompson, al que yo relacionaba hasta ahora no con los puentes, sino con raros desarrollos matemáticos y descubrimientos del curioso comportamiento de la electricidad a lo largo de los primeros cables submarinos transatlánticos. (Toda una odisea por otra parte).

Pues bien, estando Mr Thompson, o si Vd lo prefiere Lord Kelvin, en la Universidad de Glasgow, en una clase con sus alumnos sentados enfrente de él ,de pronto se mencionó algo referente a "un matemático".

En ese momento el Lord se volvió hacia sus alumnos de ingeniería y les preguntó "Gentlemen ... saben Vds qué es un matemático?" y como estos no parecían saberlo se volvió a la pizarra y escribió en ella



Y dijo "Gents, un matemático es alguien para el que lo que está escrito en la pizarra resulta tan evidente como para Vds que dos y dos son cuatro" Y se quedó tan ancho y tan pancho.

A mi, de entrada, me molesta un poco la chulería de Kelvin, pero cuando me explicaron cómo

(-1/2)! = raiz de pi/2

y como esto se relaciona con la gamma de 1/2 pues hasta se me pasó el cabreo pues llegué a entenderlo.

De todos modos les propongo algo mas sencillo. ¿Se han dado cuenta Vds de lo siguiente?

e**(j*pi) + 1 = 0

(Vean que elegante resulta juntar en una relación tan sencilla los importantísimos y famosos números 0, 1, j, e, y pi)

No, no es tan dificil, basta con recordar la identidad de Euler que dice

exp(j*theta) = cos(theta) + j*sen(theta)

y ver que

exp(j*pi) = cos(pi) + j*sen(pi) = -1

por lo que

exp(j*pi) + 1 = 0

como si fueramos mismamente alumnos de Lord Kelvin o de Euler.

Para finalizar les obsequio con el dibujo un puente de Kelvin, que no es mas que una derivada del famoso puente de Wheatstone. (Otro famoso pontonero).




Saludos cordiales de El Perro Feliz

El rotacional

Llevo ya mas de un año indeciso. Fué hace 18 meses cuando hablamos en este perro blog de la divergencia, y fué entonces cuando un fato, buen amigo mío, amablemente me rogó (o quizá mas bien me retó) para que escribiese algo parecido sobre el rotacional. Desde entonces ese ruego (reto) hizo mella en mi ánimo y periódica y sistematicamente su recuerdo me asalta y perturba mi tranquilidad, impidiendome dormir bien por las noches.

Debo aclarar en descargo de mi tardanza que si bien la idea general de la exposición que hoy escribo la he tenido desde hace tiempo mas o menos clara y definida en mi cabeza, no he logrado una exposición como yo mismo hubiera preferido hacer. A mi me habría gustado tratar el tema sólo con palabras y sin incluir figuras o esquemas gráficos pero al redactar varios intentos sin dibujos no lograba el nivel deseado de intelegibilidad y no me ha quedado mas remedio que claudicar y parir ya algo. No es que les tenga excesiva manía a los dibujos , pero siempre que puedo intento el reto de expresar mis ideas solamente con el uso del lenguaje. Vamos que soy de los que cree que una imagen no tiene por qué valer mas que mil palabras. Con las disculpas anteriores seguidamente pongo lo que me ha salido:

Voy a empezar por decir que los que inventaron el concepto que hoy tenemos del rotacional hablaban inglés y a lo que nosotros llamamos rotacional le llamaron (y aún le llaman) curl. Ahora bien, si consultamos un English Dictionary, por ejemplo el Cambridge Advanced Learner's Dictionary, obtenemos las siguientes descripciones:

curl: (noun) A piece of hair which grows or has been formed into a curving shape, or something that is the same shape as this:

tight/loose curls
Her hair fell in curls over her shoulders.
Curls of smoke were rising from the chimney.

curly: (adjective) having curls or a curved shape:

He has blond curly hair.
These pigs all have curly tails.

(Esta última frase de ejemplo me resulta particularmente divertida por asociar el rotacional con los chanchitos)

Cuando Vds acaben de leer todo el rollo que mas abajo desarrollamos (si lo consiguen)quisiera que vuecencias opinasen si coinciden conmigo en considerar que mas hubiera valido que los sabios españoles de largas barbas y largas palabras hubieran traducido en su día "curl" por "rizo", "tirabuzón" o hasta "viruta retorcida" pues así el concepto que encierra el susodicho curl nos habría sido mas fácil de aprehender (al meno a mi).

Bueno, pues una vez dicho lo anterior vamos a refrescar nuestra memoria histórica recordando que allá por el tiempo de Mari Castaña estaba Hans Oersted preparando su clase de física en la Universidad de Copenhague cuando al mover una brújula cerca de un cable que conducía corriente eléctrica notó que la aguja se deflectaba hasta quedar en una posición perpendicular a la dirección del cable. Repitió muchas veces el experimento a lo largo y alrededor del cable y vió que en todo su entorno una misteriosa fuerza magnética movía la brújula y la ponía tangencial a circulos concéntricos al eje del conductor. Por primera vez se había hallado una relación directa entre la corriente electrica y el magnetismo.

Pocos días después de enterarse del hallazgo de Oesterd, fué el científico francés Andre Marie Ampere quien formuló este importante descubrimiento en términos matemáticos. Ampere dedujo que una corriente eléctrica produce un campo magnético que rodea a dicha corriente y formuló la ecuación matemática que describe la relación entre dicha corriente eléctrica y el campo magnético que produce. Es la conocida ley de Ampere (ley prima hermana de la de Biot y Savart)y que mismamente dice:

La circulación del campo magnético H a lo largo de una curva cerrada es igual a la suma de las corrientes abrazadas por dicha curva, eso es a la suma de las corrientes que atraviesen una superficie que se apoye en el contorno de la curva antes citada.





Para aclarar el concepto veamos ahora el clásico ejemplo de un conductor rectilíneo (indefinido) recorrido por una intensidad I (constante) que crea, en un plano perpendicular a dicho conductor y a distancia r del mismo un campo H que cumple, de acuerdo con la ley de Ampere, que 2*pi*r*H = I. Vealo aquí:



Todo eso está muy bien, pero ... del rotacional qué?... Eh?

Pues bien, sufrido lector, hace un año y medio vimos como los campos que surgen de surgencias se pueden caracterizar bastante bien con el operador "divergencia" (o indicador del flujo por unidad de volumen), pero el campo magnético que se crea alrededor de un conductor y mueve agujas de brújula se caracteriza por no tener surgencias y sumideros (recuerde que dijimos que div B = 0), sino que aparece dando vuetas alrededor de los conductores de corriente y se orienta según el producto vectorial del vector corriente eléctrica por el vector de posición del punto con respecto a la corriente. Vease a continuación la ecuación de Biot y Savart exhibiendo, orgullosa, este puñetero producto vectorial.



No, no es tan dificil. Para saber hacia donde va el campo si a Vd no le gustan los productos vectoriales basta aplicar la regla del sacacorchos, o simplemente agarrar el cable con la mano derecha con el pulgar apuntando el sentido de la corriente, y los restante dedos le señalan automáticamente el sentido de giro del campo.

Ya hemos llegado. Por fin el rotacional. Para estudiar estos campos con un poco mas de misterio vamos a definir el rotacional de un vector como límite de la circulación de dicho vector campo a lo largo de una curva o línea cerrada dividido por el área de la superficie encerrada por dicha línea cerrada, cuando esta superficie tiende a cero (Esto es, cuando se cierra el anillo).



Estos campos que tienen rotacional no nulo en ciertos puntos del espacio ya hemos dicho que están por todas partes sin encontrar nunca fuentes ni cloacas de campo, sino que abrazan todo el espacio sideral siguiendo líneas que se cierran sobre si mismas y abrazan desde el infinito y mas allá hasta los conductores que lo crean, como si fueran hermosos rizos o bucles de los cabellos de un ángel o como los hermosos tirabuzones de mi chica. Vamos, que estamos empezando a ver que divE=ro expresa una cosa y que rotH =j expresa otra.

Un momento so perro! A mi lo que me enseñaron es que el rotacional de un vector es el producto vectorial del operador nabla (de Hamilton) por dicho vector. ¿Que dice Vd sobre eso?

Pues digo que es una simpleza, y seguidamente lo vamos a mostrar. Hemos dicho antes que:



Vamos a calcular ahora las tres componentes cartesianas del vector rotacional a base de observar su circulación. Empecemos con la componente del eje X. Vea la figura siguiente:



Si A es el vector que nos enseña la puntita de su flecha en la esquinita inferior izquierda del elemento incremento de S (punto I de la figura de arriba), vemos que su circulación es:





y, por tanto:



Dejo para Vds la tarea de obtener las componentes segun los ejes Y y Z, que se obtienen con mismamente el mismo método, y así llegamos a:



Que es la expresión del rotor en coordenadas cartesianas como nabla vectorial el vector c.q.d. (como queríamos demostrar).

Y como ya estamos cerca del final vamos a fijarnos en que si



nos basta solo con una pizca de imaginacion (solo una pizca) para decir, como si fuesemos el mismísimo Stokes que en el límite del incremento de s tendiendo a cero este se convirte en diferencial y lo pasamos al otro lado y con un poco de cara dura queda:



Por penúltimo, y para acabar con una hermosa diarrea de ecuaciones vamos a introducir la ecuación de Maxwell que dice rotH = j en la expresión anterior y obtenemos:



¡Qué bien! .... ¡Otra vez la ley de Ampere con la que empezamos! ¡Esto si que es cerrar el círculo!

Y para finalizar no con un punto final, sino con unos puntos suspensivos, ahí va una ultima reflexión y pregunta para el paciente lector que haya aguantado hasta aquí:

Todo lo anterior lo hemos descrito en el contexto de un espacio vectorial tridimensional pero real (no imaginario). Pero si de repente nos acordamos de las probrecitas y olvidadas funciones de variable compleja, y recordamos que estas funciones (si son analíticas) se pasean por el plano complejo dando vueltas como tontas alrededor de los polos dejando allí (y solamente allí) unas cagaditas o residuos 2 pi i ... ¿No les parece a Vds que estos campos que se definen por su rotor se parecen a dichas funciones holomorfas de Cauchy-Rieman, y que todo esto recuerda un montón al primer teorema de Cauchy? ...


Salu2 cordiales de El Perro Feliz



Post Data: No se tomen en serio nada de lo anterior, y mucho menos lo de Cauchy.

Las fuerzas económicas

Es usted muy libre, faltaría mas!, de creer lo que estime oportuno, pero le aconsejo que meta dentro de sus creencias solamente lo que Vd decida que debe incorporar, y tenga un filtro siempre activo para evitar que se le cuelen en sus lista de creencias no lo que usted haya previamente analizado, sino cualquier majadería que algún otro haya parido.

Voy, una vez mas, a repetirme como si fuera un gol televisivo y decir otra vez lo que ya dije en este blog bajo el título "No pienso luego no existo". Se tata simplemente de recordar que existen en nuestro alrededor Autoridades, Eminencias, Pantallas de TV (peligrosísimo elemento entontecedor), Periódicos de gran tirada, Bobos Solemnes, Sindicalistas y en general bichejos variopintos que tienen la desfachatez de pontificar y soltar con infinto aplomo paridas múltiples que maldito tienen que ver con la realidad real, sino mas bien con sus propios intereses.

En definitiva le recuerdo la conveniencia de hacerse a uno mismo estas preguntas cuando algun bichejo de la avifauna anterior le suelta una parida:

1. ¿Quien lo dice?
2. ¿Como lo sabe?
3. ¿Por qué estará diciendo esto?

Ultimamente se ha desatado un intercambio de razones, sinrazones e insultos varios entre los partidarios del libre mercado y los de la necesidad de controlarlo y regularlo mediante leyes y reglamentos desde los gobiernos.

Cuando usted oiga a la avifauna anterior decir desde cosas ininteligibles hasta verdades del Sr D. Pero Grullo (como si lo hubieran descubierto ellos), le sugiero que tenga en cuenta la posibilidad de que las leyes de la naturaleza sean bastante tozudas, y que sigan actuando según es la realidad de la vida aunque haya un ejercito de charlatanes diciendo paridas sobre las mismas, y que hay quien se teme que las llamadas fuerzas económicas sean tan reales como las newtonianas.

Las crisis

Ya llegó.

No quiero presumir de profeta, pero esto se veía venir. O es que Vd se creía de verdad que la economía solo (y siempre) va para arriba!

Hace ya tres años que a mi no me encajaba en la cabeza que fulanito había firmado una hipoteca con el 100% del valor de su piso inflado con no se cuantos euros de mas para comprarse un BMW, y que menganito, al que yo conozco y se que tiene un sueldo escasamente dosmileurista se permita esto, lo otro y lo de mas allá, incluidas las vacaciones en Cancun con su chica. Con deciros que hasta mi hijo, tambien mileurista y que tiene bastantes mas necesidades y créditos que yo, se ha comprado el perro con otro crédito ... (manda huevos!).

Bueno pues parece que la culpa de lo que está cayendo la tiene Bush y sus hipotecas subprime, aunque nosotros, gracias a Zapo y sus congéneres, no tenemos esas cosas, faltaría mas! ... pero ... Qué es una hipoteca subrime? Pues es una hipoteca de alto riesgo, concedida a un ninja (no income, no job and no assets) y en bastantes ocasiones siguiendo instrucciones "políticamente correctas", que la banca que las concedía se ocupaba de inmediato en convertir en cédulas hipotecarias o similares y que endiñaba a quien deslumbrado y ciego por su avaricia de high income and low risk, quería comprar (o revender). Nosotros, según Zapo, no tenemos ninjas ergo no tenemos subprime y además el Banco de España vale mas que las pesetas ni lo ha permitido ni lo permitiría nunca, pero ... ¿No le parece a Vd que dar hipotecas a 30 y 50 años, al 100 ó 120% del valor de tasación (hinchado) es algo bastante subprime?

Bueno, pues paso a contestar una pregunta que me hago:

¿Cuanto tiempo durará la desaceleración económica puntual?

La crisis mundial, en USA por ejemplo, puramente financiera en una economía tecnologica y avanzada, posiblemente con un tiempo entre seis meses y año se acaben de conocer las toxicidades que aún siguen apareciendo y comience el camino de la recuperación.

En España:

----La crisis de la construcción va para mas tiempo, pues hay mucha mas obra que está en oferta de la que el mercado puede absorber. Yo diría que en el proximo año bajarán mas los precios de los pisos que sobran, digamos uno o dos años mas de "suelo dormido" y luego, cuando la economía real haya arrancado y la ciudadanía tenga trabajo empezará lentamente el despegue.

----La crisis de la economía real española tiene que dejar de sustentarse por el ladrillo y en la entrada en el euro para pasar a sustentarse en productividad, eficiencia, tecnología etc. , y si no lo hace seguiremos viendo como los productos de fuera serán mas baratos que los de aquí, y cada vez mas las empresas aquí radicadas se irán. ¿Cuando se arreglará el panorama? Yo creo que la broma va para años.

----Hay tambien una crisis de financiación general de la economía española que se debe a que últimamente hemos tenido un deficit del 13% año tras año,.(Mas claro, llevamos años gastando entre todos mas de lo que tenemos). Los bancos, que nos han prestado dinero para piso, para coche y para vacaciones en Cancun han obtenido ese dinero de crédito exterior (que ahora hay que devolver). No volverán en el exterior a darnos esas facilidades antes de que nosotros mismos no dejemos de gastar todos y cada uno de los años un 13% mas que lo que tenemos. Pienso que nos guste o no esto puede ser para ¿5 años? ¿10 años?

---- Crisis de financiacion de la burbuja inmobiliaria: Además ... las empresas constructoras le deben a los bancos (y cajas de ahorro) 5 veces más de dinero que el importe de las reservas de esos bancos y cajas. Si las constructoras no pueden pagar la deuda si ellas no venden antes los pisos y apartamentos ... ¿Cuanto dinero van a dejar de cobrar los Bancos porque las constructoras no venden los pisos? Si es un 20% (una quinta parte) tienen reservas, pero si es mas y en el exterior estamos sobreendeudados ¿Qué?

Estas crisis, que son varias (al menos en España) me hacen pensar que esto va para años, y que, aún despues de años, las cosas no van a ser igual.

Pulgosos salu2 de El Perro Feliz

Génesis 11

En ese entonces se hablaba un solo idioma en toda la tierra. Al emigrar al oriente, la gente encontró una llanura en la región de Sinar, y allí se asentaron.

Un día se dijeron unos a otros: «Vamos a hacer ladrillos, y a cocerlos al fuego.» Fue así como usaron ladrillos en vez de piedras, y asfalto en vez de mezcla. Luego dijeron: «Construyamos una ciudad con una torre que llegue hasta el cielo. De ese modo nos haremos famosos y evitaremos ser dispersados por toda la tierra.»

Pero el Señor bajó para observar la ciudad y la torre que los hombres estaban construyendo, y se dijo: «Todos forman un solo pueblo y hablan un solo idioma; esto es sólo el comienzo de sus obras, y todo lo que se propongan lo podrán lograr. Será mejor que bajemos a confundir su idioma, para que ya no se entiendan entre ellos mismos.»

De esta manera el Señor los dispersó desde allí por toda la tierra, y por lo tanto dejaron de construir la ciudad. Por eso a la ciudad se le llamó Babel, porque fue allí donde el Señor confundió el idioma de toda la gente de la tierra, y de donde los dispersó por todo el mundo.


Nota de El Perro Feliz:

El que tenga oídos para oir, que oiga, y si tiene seso para entender que entienda.