La divergencia

Vds perdonen pero o lo escribo o exploto.

El caso es que a mi me hicieron aprender que la divergencia de un vector, en un campo vectorial, es el producto (escalar) del operador nabla de Hamilton por dicho vector, y tras meterme eso en el coco sacaban, en la pizarra de la Universidad las conclusiones mas peregrinas que pueda Vd imaginar sin mas que usar las reglas del álgebra vectorial.

Todo el juego matemático dejaba muy satisfecho en general a profesores y alumnos, pero no a todos, pues algunos opinábamos que el armazón de la integrales y demás artificios del cálculo infinitesimal tiene su indudable e inestimable valor, pero que el foco debe apuntar hacia el sentido físico y no fijarse tanto en la herramienta matemática. Es lo que Morillo, Cátedro de Electrotecnia, llamaba "la prosa de la asignatura", con la que es necesario conectar aunque solo sea para no olvidar que las ecuaciones, a menudo, suponen cosas tan peregrinas como que la resistencia de los contactos de las escobillas con el colector es óhmica y que la variable que la modela es continua en el intervalo a pesar de que, a veces, yo veo que esas máquinas echan por el colector mas chispas que la madre que las parió.

Volviendo a la divergencia, como la definición que comentamos es algo abtrusa pues se me había olvidado hasta que nabla se usa normalmente como operador cartesiano con sus derivadas parciales referidas a las variables x, y, z... etc... y creo que en general no le he visto en la divergencia, así considerada, ningún sentido común conectado con la realidad física.

De todos modos la definición anterior debe ser buena, pues es la que aparece en textos tan ilustres nada mas y nada menos como los del profesor Puig Adam o del famoso Rey Pastor. Pero al igual que con la Reluctancia, de la que hablamos hace unos días, tambien en este caso hurgando por ahí he visto la luz. Veamos:

Sea un campo vectorial que quiero conocer en sus puntos, saber cómo es a lo largo y a lo ancho del espacio en el que está definido. Esto es, quiero ver cómo las flechas del campo eléctrico salen (según dicen) de las cargas positivas y se clavan en las negativas o cómo una masa extiende su campo de fuerza gravitatoria por todo el espacio o como las líneas de campo magnético se cierran todas ellas y cada una sobre si misma abarcando por completo el antes mencionado espacio sideral.

Pues bien, si consideramos un volumen V en ese espacio vectorial, cerrado por una superficie S y calculamos el flujo fi (y dale con fi) del campo A a través de la superficie S, puede suceder que el flujo sea cero o que no lo sea. Si es cero decimos que el campo de vectores A no tiene, en el volumen V, ni fuentes ni sumideros . Si el flujo es positivo decimos que tiene fuentes y si negativo que sumideros.

Claro que esto es para trozos de espacio de volumen V gordotes, pero si queremos saber que pasa en cada punto puntual del espacio nos basta con hacer V pequeñito, pequeñito, vamos que tiende a cero, y en el límite, al cociente entre flujo que atraviesa la superficie que encierra al volumen, dividido por dicho volumen le llamamos divergencia del vector en el punto, y ya hemos visto que puede ser cero, positiva y negativa.

div A = lim fi( A ) / V para V --> 0

Recuerde que fi ( A ) = integral sup A * ds para la superficie considerada.

Si consideramos que V tiende a cero, y que es pequeñito, pequeñito, vamos a llamarlo dv, y vamos a reescribir la ecuación primera, teniendo en cuenta la segunda, como sigue:

div A * dv = integral sup A*ds para la superficie que encierra a dv

Y si consideramos todo un volumen V mas gordo, encerrado en la superficie S nos resulta

integral vol div A * dv = integral sup A * ds

Ostras! Si nos ha salido el Teorema de Gauss! (Tambien llamado de la divergencia o de Ostrogradsky) .

Cáscaras! Si ya he cumplido mi promesa en un ladrido anterior de hablar sobre ello! .... Pues sabe lo que le digo.... Que no es para tanto.

Y vamos a terminar con un par de chorradas:

Ah!, ah!, y otra vez ah! Entonces Mr Maxwell cuando dice en una de sus ecuaciones que divB=0 no dice nada mas que el campo magnético no tiene ni fuentes ni sumideros?. Pues a mi humilde entender no dice nada mas y nada menos.

Ah!, ah, y otra vez ah! (Y perdón por quedarme con la boca abierta) Entonces cuando Maxwell dice que divD=ro nos está diciendo simplemente que el campo eléctrico surge en las cargas positivas y se larga raudo y veloz subido en flechitas hasta sumideros de carga negativa donde ro<0? Pues pizca mas cacho menos eso es lo que dice. Apurando un poco podemos llegar a la ley de Coulomb pero eso es ya para nota...

Y para eso tanto misterio? Pues qué quiere Vd que le diga... y volviendo al principio de este ladrido Vds perdonen por escribirlo.