Debo aclarar en descargo de mi tardanza que si bien la idea general de la exposición que hoy escribo la he tenido desde hace tiempo mas o menos clara y definida en mi cabeza, no he logrado una exposición como yo mismo hubiera preferido hacer. A mi me habría gustado tratar el tema sólo con palabras y sin incluir figuras o esquemas gráficos pero al redactar varios intentos sin dibujos no lograba el nivel deseado de intelegibilidad y no me ha quedado mas remedio que claudicar y parir ya algo. No es que les tenga excesiva manía a los dibujos , pero siempre que puedo intento el reto de expresar mis ideas solamente con el uso del lenguaje. Vamos que soy de los que cree que una imagen no tiene por qué valer mas que mil palabras. Con las disculpas anteriores seguidamente pongo lo que me ha salido:
Voy a empezar por decir que los que inventaron el concepto que hoy tenemos del rotacional hablaban inglés y a lo que nosotros llamamos rotacional le llamaron (y aún le llaman) curl. Ahora bien, si consultamos un English Dictionary, por ejemplo el Cambridge Advanced Learner's Dictionary, obtenemos las siguientes descripciones:
curl: (noun) A piece of hair which grows or has been formed into a curving shape, or something that is the same shape as this:
tight/loose curls
Her hair fell in curls over her shoulders.
Curls of smoke were rising from the chimney.
curly: (adjective) having curls or a curved shape:
He has blond curly hair.
These pigs all have curly tails.
(Esta última frase de ejemplo me resulta particularmente divertida por asociar el rotacional con los chanchitos)
Cuando Vds acaben de leer todo el rollo que mas abajo desarrollamos (si lo consiguen)quisiera que vuecencias opinasen si coinciden conmigo en considerar que mas hubiera valido que los sabios españoles de largas barbas y largas palabras hubieran traducido en su día "curl" por "rizo", "tirabuzón" o hasta "viruta retorcida" pues así el concepto que encierra el susodicho curl nos habría sido mas fácil de aprehender (al meno a mi).
Bueno, pues una vez dicho lo anterior vamos a refrescar nuestra memoria histórica recordando que allá por el tiempo de Mari Castaña estaba Hans Oersted preparando su clase de física en la Universidad de Copenhague cuando al mover una brújula cerca de un cable que conducía corriente eléctrica notó que la aguja se deflectaba hasta quedar en una posición perpendicular a la dirección del cable. Repitió muchas veces el experimento a lo largo y alrededor del cable y vió que en todo su entorno una misteriosa fuerza magnética movía la brújula y la ponía tangencial a circulos concéntricos al eje del conductor. Por primera vez se había hallado una relación directa entre la corriente electrica y el magnetismo.
Pocos días después de enterarse del hallazgo de Oesterd, fué el científico francés Andre Marie Ampere quien formuló este importante descubrimiento en términos matemáticos. Ampere dedujo que una corriente eléctrica produce un campo magnético que rodea a dicha corriente y formuló la ecuación matemática que describe la relación entre dicha corriente eléctrica y el campo magnético que produce. Es la conocida ley de Ampere (ley prima hermana de la de Biot y Savart)y que mismamente dice:
La circulación del campo magnético H a lo largo de una curva cerrada es igual a la suma de las corrientes abrazadas por dicha curva, eso es a la suma de las corrientes que atraviesen una superficie que se apoye en el contorno de la curva antes citada.
Para aclarar el concepto veamos ahora el clásico ejemplo de un conductor rectilíneo (indefinido) recorrido por una intensidad I (constante) que crea, en un plano perpendicular a dicho conductor y a distancia r del mismo un campo H que cumple, de acuerdo con la ley de Ampere, que 2*pi*r*H = I. Vealo aquí:
Todo eso está muy bien, pero ... del rotacional qué?... Eh?
Pues bien, sufrido lector, hace un año y medio vimos como los campos que surgen de surgencias se pueden caracterizar bastante bien con el operador "divergencia" (o indicador del flujo por unidad de volumen), pero el campo magnético que se crea alrededor de un conductor y mueve agujas de brújula se caracteriza por no tener surgencias y sumideros (recuerde que dijimos que div B = 0), sino que aparece dando vuetas alrededor de los conductores de corriente y se orienta según el producto vectorial del vector corriente eléctrica por el vector de posición del punto con respecto a la corriente. Vease a continuación la ecuación de Biot y Savart exhibiendo, orgullosa, este puñetero producto vectorial.
No, no es tan dificil. Para saber hacia donde va el campo si a Vd no le gustan los productos vectoriales basta aplicar la regla del sacacorchos, o simplemente agarrar el cable con la mano derecha con el pulgar apuntando el sentido de la corriente, y los restante dedos le señalan automáticamente el sentido de giro del campo.
Ya hemos llegado. Por fin el rotacional. Para estudiar estos campos con un poco mas de misterio vamos a definir el rotacional de un vector como límite de la circulación de dicho vector campo a lo largo de una curva o línea cerrada dividido por el área de la superficie encerrada por dicha línea cerrada, cuando esta superficie tiende a cero (Esto es, cuando se cierra el anillo).
Estos campos que tienen rotacional no nulo en ciertos puntos del espacio ya hemos dicho que están por todas partes sin encontrar nunca fuentes ni cloacas de campo, sino que abrazan todo el espacio sideral siguiendo líneas que se cierran sobre si mismas y abrazan desde el infinito y mas allá hasta los conductores que lo crean, como si fueran hermosos rizos o bucles de los cabellos de un ángel o como los hermosos tirabuzones de mi chica. Vamos, que estamos empezando a ver que divE=ro expresa una cosa y que rotH =j expresa otra.
Un momento so perro! A mi lo que me enseñaron es que el rotacional de un vector es el producto vectorial del operador nabla (de Hamilton) por dicho vector. ¿Que dice Vd sobre eso?
Pues digo que es una simpleza, y seguidamente lo vamos a mostrar. Hemos dicho antes que:
Vamos a calcular ahora las tres componentes cartesianas del vector rotacional a base de observar su circulación. Empecemos con la componente del eje X. Vea la figura siguiente:
Si A es el vector que nos enseña la puntita de su flecha en la esquinita inferior izquierda del elemento incremento de S (punto I de la figura de arriba), vemos que su circulación es:
y, por tanto:
Dejo para Vds la tarea de obtener las componentes segun los ejes Y y Z, que se obtienen con mismamente el mismo método, y así llegamos a:
Que es la expresión del rotor en coordenadas cartesianas como nabla vectorial el vector c.q.d. (como queríamos demostrar).
Y como ya estamos cerca del final vamos a fijarnos en que si
nos basta solo con una pizca de imaginacion (solo una pizca) para decir, como si fuesemos el mismísimo Stokes que en el límite del incremento de s tendiendo a cero este se convirte en diferencial y lo pasamos al otro lado y con un poco de cara dura queda:
Por penúltimo, y para acabar con una hermosa diarrea de ecuaciones vamos a introducir la ecuación de Maxwell que dice rotH = j en la expresión anterior y obtenemos:
¡Qué bien! .... ¡Otra vez la ley de Ampere con la que empezamos! ¡Esto si que es cerrar el círculo!
Y para finalizar no con un punto final, sino con unos puntos suspensivos, ahí va una ultima reflexión y pregunta para el paciente lector que haya aguantado hasta aquí:
Todo lo anterior lo hemos descrito en el contexto de un espacio vectorial tridimensional pero real (no imaginario). Pero si de repente nos acordamos de las probrecitas y olvidadas funciones de variable compleja, y recordamos que estas funciones (si son analíticas) se pasean por el plano complejo dando vueltas como tontas alrededor de los polos dejando allí (y solamente allí) unas cagaditas o residuos 2 pi i ... ¿No les parece a Vds que estos campos que se definen por su rotor se parecen a dichas funciones holomorfas de Cauchy-Rieman, y que todo esto recuerda un montón al primer teorema de Cauchy? ...
Salu2 cordiales de El Perro Feliz
Post Data: No se tomen en serio nada de lo anterior, y mucho menos lo de Cauchy.
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